2017年06月28日

三角方程式は単位円で解く

三角関数は難しく感じるところが続きますね。ところで三角方程式は学校の授業についていけていますか。少し説明します。

DSCN3468.JPG

問1 0≦θのとき、sinθ1/2を解きなさい。


(説明)まず何はともあれ単位円を書きます(図1)。そしてsinθkのときには、y=kの直線の単位円との交点に動径をもっていきます。すると、動径が表す角θαβの2つの角の大きさが求まります。

単位円1.JPG

(教科書的な解き方)

単位円を書きます。0≦θの範囲でsinθ1/2だからy=1/2の直線をひき、単位円との交点に動径を書き込みます。図2によりθπ/65π/6となります。

単位円2.JPG

やはり単位円と直角三角形の辺の比が解くのに必要ですね。これでわかりにくい人は、単位円の半径を2にしてやってみましょう。こちらのほうが直感的にわかりやすいです。ただし半径を2倍にしたのでy=2kのところに動径が来ることになる点は注意します。


(別解)

単位円(半径2)を書きます。直角三角形の辺の比2:1が使えてsinθ1/2を表せたことになり、図3よりθπ/65π/6となります。

単位円3.JPG

今日は使いませんでしたが、y=sinθのグラフで解く方法もできるようになってくださいね。


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posted by あまがえる at 19:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2017年06月20日

円の方程式は距離の式から

以下のように座標軸上の距離の式を示しました。そこで・・・。

円のグラフ.JPG

たとえば点C(7,6)を中心とする半径5の円があるとします。この円は点Cからの距離が5の点の集まり(点全体の集合)といえますね。


この円周上の点をP(x,y)とすると、CP=5ですから


と表せます。つまりこれは2乗すると

  (x-7)(y-6)=5



となって中心(7,6)、半径5の円の方程式が与えられたことになります。それにしても円の方程式は興味深い形をしていますね。

タグ:円の方程式
posted by あまがえる at 20:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2017年06月14日

三角関数の単位円

「三角関数」の単位円についての説明です。


結局、「三角関数」は、

πを角度の表示に使う(弧度法)ということ

単位円を数Ⅰのとき以上に多用するということ


の2つです。真っ先にこの2つを理解することが肝要です。


今日は②について説明しますね。皆さんは単位円を要領よく使えていますか。「う~ん、先生が書いて説明するときはわかるけど、自分で問題を解くとなるとなあ~自信ない。」


それではまず自分で単位円を書いてsinπ3の値を求めてみましょう。(読みにくくてすみません。このブログはテキストで打ってるのでここは3分のπのことです)


図のように単位円を書きます。角度がπ3(=60°)ですから図のような角度で開き、直角三角形が書けます。これは60°30°の直角三角形ですから

sinπ3=√32ですね。


単位円を書くときの注意

まずは単位円をしっかり正確に書く(大きく書きます)。

必要なθを動径(半径)とともに書きます。すると直角三角形ができます。

sinθなどの値を三角比で求めます。

単位円.JPG

単位円上の三角形を雑に書く人がいますが、それはよくないです。π3なのかπ4なのかはっきり区別できる三角形を描くことがうっかりミスを防ぐポイントになります。


以上、三角関数の単位円でした。


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posted by あまがえる at 19:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2017年06月08日

酸化か還元かはこうして知る

ある原子が酸化しているのか還元しているのかわからないときは酸化数を使ってこうして調べます。


ちなみに酸化数が増えると酸化されたことになり、酸化数が減ると還元されたことになります


例えば化学反応式

Zn +H2SO4 → ZnSO4 + H2

においてZnZnSO4がそれぞれ酸化を受けたか還元されたか調べてみます。左辺のZnは単体なので酸化数は0です。右辺のZnSO4中のZnの酸化数は+Ⅱです。したがってZnについては酸化数が増えていますから、「酸化」をうけたことになります。


例題1.次の化学反応式においてFeは酸化されたか、還元されたか答えよう。

2FeCl3 +H2C2O42FeCl2 +2HCl +2CO2

左辺のFeCl3Feの酸化数は+Ⅲです。右辺のFeCl2Feの酸化数は+Ⅱですから、Feは酸化数が減っていますから、「還元」をうけたことになります。


posted by あまがえる at 18:00| Comment(0) | 化学 | 更新情報をチェックする

2017年06月01日

三角形の面積の求め方のいろいろ

Iでいろいろな三角形の面積の求め方が出てきましたのでまとめます。

(ア)2辺b,cとその間の角Aがわかっているとき

Iでは三角形の面積をいろいろな方法で求めます。例えば△ABC

S=1/2bcsinA ・・・①

これは2辺b,cとその間の角Aがわかっているときにあっという間に求められるよね。


(イ)3辺とも長さがわかっているとき(i)

何はともあれ余弦定理からcosAの値を求めるのが何より先決です。

()余弦定理でcosAの値を求める。

()sin2Acos2A=1からsinAの値を求める。

()sinAを①の面積の公式に当てはめる。


上の手順で面積を求めます。これがいつも使う定法です。

以下はあまり使わない方法です。


(ウ)3辺とも長さがわかっているとき(ii)

2s=a+b+cとすると

S=√s(s-a)(s-b)(s-c)

へロンの公式といいます。たいてい計算が大変になることが多く、あまりおすすめできません。


(エ)△ABCの内接円の半径をrとすると

S=1/2r(a+b+c)

posted by あまがえる at 18:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする