2017年02月07日

帰納法による証明

ある問題を例に帰納法で証明を行います。


1.nが自然数のとき、n3+2n3の倍数であることを証明しよう。


ことがら「n3+2n3の倍数である」を①とする。

(1)n=1のとき

   n3+2n13213

   よって、n=1のとき ①は成り立つ。

(2)n=kのとき、①が成り立つと仮定すると、mを整数として

   k3+2k3m …②

   と表される。

   n=k+1のとき

    (k1)32(k1)k33k213k12132k2

              =k33k25k+3

                                     =3m3k23k+3(②より)

             =3(k2k+m3)

    k2k+m3は整数だから(k1)32(k1)3の倍数となり、n=k+1のときも①が成り立つ。

  よって、(1)、(2)より①は全ての自然数において成り立つ。(証明終わり)



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ラベル:数学Ⅱ
posted by あまがえる at 19:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする
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