2017年02月09日

三角関数は出だしが肝心

三角関数は大丈夫でしょうか。県内1,2を争う進学校の生徒さんでもここの単元がわからないで教えて欲しいと「小さな塾」を訪ねてくる人がいます。


それほど三角関数は出だしが肝心。三角比のとり方をマスターできていないのがそもそもの始まりですが。


今日のお話はその先、数Ⅱの「三角関数」です。数Ⅰでは「三角比」と称して比の扱いで終わっていましたが、数Ⅱでは三角比を三角関数という関数として扱います。


その「三角関数」の出だしですが、真っ先にすべきことはそれまで角度を45°とか60°とか呼んでいたものを、これからは弧度法を使ってπ4とかπ3と呼ぶことを知っておかねばなりません。「なんでこんな面倒くさいことするの?」


それは単位との関係があるからです。弧度法は角の大きさを長さの比つまり「弧の長さ/半径の長さ」で表しているので単位はいりません。したがって関数で角度を扱うことができるようになります。


「ふ~ん、だから三角関数という単元の名前なんだ。」そうです。これから習う数Ⅲの三角関数の微分・積分もこれなら使えます。数学では単位のない弧度法のほうがずっと使い道があります。


私はちょうど高校のときに部活の遠征で授業を何回か休んでしまい、予習は少しはしていたのですが、学校に戻ってきたときには全く三角関数がわからず浦島太郎状態だったことを覚えています。


何が言いたいかというと、ほんの数回油断すると三角関数は全くわからなくなるということです。


では話を元に戻すと、「三角関数」の出だしでしっかりポイントとしてつかんで欲しいことは、

πを角度の表示に使う(弧度法)ということ

単位円を数Ⅰのとき以上に多用するということ


の2つです。今日は①を中心にお話しますね。


皆さんは180°πであることを理解してすぐに置き換えて使えていますか。とくに、三角比の角度、例えばsin45°sinπ4(サイン4分のパイ)だとか、半径1の単位円上でcosθ=xだとかすぐに出てきますか。


このあたりからしっかり理解しておきましょうね。教科書をじっくり読んでいけば理解できますよ。


今日はおもに①について紹介しました。②については具体的にはまた後日説明します。




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posted by あまがえる at 18:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2017年02月07日

帰納法による証明

ある問題を例に帰納法で証明を行います。


1.nが自然数のとき、n3+2n3の倍数であることを証明しよう。


ことがら「n3+2n3の倍数である」を①とする。

(1)n=1のとき

   n3+2n13213

   よって、n=1のとき ①は成り立つ。

(2)n=kのとき、①が成り立つと仮定すると、mを整数として

   k3+2k3m …②

   と表される。

   n=k+1のとき

    (k1)32(k1)k33k213k12132k2

              =k33k25k+3

                                     =3m3k23k+3(②より)

             =3(k2k+m3)

    k2k+m3は整数だから(k1)32(k1)3の倍数となり、n=k+1のときも①が成り立つ。

  よって、(1)、(2)より①は全ての自然数において成り立つ。(証明終わり)



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タグ:数学Ⅱ
posted by あまがえる at 19:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2017年01月10日

センター 三角関数より

センター試験の過去問題(一部改変)からです。( )がない部分で太字のところが問題、下線を入れた部分が解答です。( )をつけた細字はネットステップによる説明や解き方です。


問題 0≦θ<πの範囲で関数f(θ)=3cos2θ+4sinθを考える。


(方針θがあるので「2倍角の公式」cos2θ=2cos2θ112sin2θを使います。)


sinθtとおけば

cos2θ=12sin2θより)

cos2θ=12t2

であるからyf(θ)とおくと

 (y=3cos2θ+4sinθ

=3(12t2)+4t

 y=6t2+4t+3

=6(t1/3)2+11/3 平方完成して頂点の座標を求めます)

グラフ.JPG

である。したがって

sinθt0≦θ<π)より 0≦t≦1だからt=1/3のとき最大値11/3

                      t=1のとき最小値1となります。)

yの最大値は 11/3であり、最小値はである。

 (そして、y3とすると

 -6t2+4t+33

 (6t24t=0

  t(3t2)=0

  t=0または2/3となります。

 それからt=sinα0<α<π/2 とすると

   t=sinα

      =2/3

ここでcosα=√1sin2α

       =√1(2/3)2

       =5/3

  加法定理より)

  sin(α+π/6)=sinαcosπ/6+cosαsinπ/6

                        (=2/3・√3/2+√5/31/2

                        (2√3+√5)/6

  である。


すこし見ずらいところはすみません。これは三角関数の典型的な問題のひとつです。これが解けるようになれば、類題もたくさん解きましょう。

タグ:三角関数
posted by あまがえる at 18:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2017年01月02日

問題を解く作図は丁寧に手早く

高校の数学を解く上で図が検討に必要な問題は結構あります。そこで、ふだんから意識して図を問題を読みながらフリーハンドで書き、条件をもれなく入れていく練習をするといいです。


頭の中で考えただけではわかりにくい問題でも、図にすればあっさり解答が得られることがあります。図を作ることがヒントをくれ、問題を易しくして解くことに導いてくれるわけです。


それから図の出来次第では答えに見当をつけることが可能なことがあります。たとえば答えはあらかじめ3ぐらいだなと図を手がかりにして想定しておくと、仮の答えが出かかって3に程遠い答えになりそうなときには、早めに見切りをつけて計算し直すことができます。


したがって小問ごとに図をしっかりかくことができるか否かは結構、成績を左右するといえます。したがって普段の練習でも余分に紙を準備して、図をはっきり手早く大きく書くようにすると、見間違い書き間違いに気づきやすくなります。


少なくとも私が知っている数学が得意な人はいずれもきれいな図が手際よく描ける人ばかりです。

posted by あまがえる at 14:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2016年12月18日

センター数学 指数は丁寧に

高校2年生に対して今日はお話します。数Ⅱの指数はもう習いましたか。いま「小さな塾」でもちょうど教えています。教科書はよくできていて指数の単元ならほとんど自習の形で理解できるように作られています(もし、それで解けないときはご連絡ください。手ほどきいたします)。


あらかじめ予習して教科書の例題や練習問題を解き、それから授業を聞くと先手を打った学習できると先日のブログに書きました。一番楽な効率のよい学習法です。そこで「ああ、ここはこうすればもっと簡単に解ける」とか授業を十二分に活用してください。そして自分の解いた方法にもっと工夫する余地がないか見直してください。


ポイントになるところを漏らさず明らかにします。「小さな塾」で以前に数学Ⅱのがわからないと習いに来た生徒がいました。この生徒は熱心に通ってきて定期試験までに指数と次の対数の単元を完璧に理解して試験で満点をとりました。


指数や対数は前にもブログに書きましたが、今の60歳以上の方々は中学校で習った単元だそうです。私は数Iで高校1年生で習った記憶があります。したがって数Ⅱにあるのもどうかと思うのですが、数Ⅱや数Bのほかの単元と比較するとここは易しいと思います。


センターでもこの単元の扱いや配点はそれほど大きくはないのですが、一度はまって解けるようになっておかないととんでもないミスをしてしまうことになりかねません。


したがってこういう易しめの単元は早々に予習しておき、のちに控える数Ⅲのために英気を養っておきましょう。


指数のポイントとしてはa0=1a‐n=1/anなどのルールをしっかり理解しておくことでしょう。慣れれば計算は苦にならないはずです。


累乗根についても一瞬ひるみますが、nan=aであることを利用する前提で作ってある問題が多いので、その形に持ち込めるようにひと工夫していけば解けるものが多いです。


それから53=125であったり、81=34だということを両辺とも前もって理解しておくと瞬時に変換できて便利です。よく出てくる累乗は知っておくとよいでしょう。わからない場合は素因数分解すればいいだけです。


また試験では指数方程式が出ることがあります。何はともあれ指数方程式は「底(てい)をそろえる」ことを第一に考えます。たとえば


4x+1=8x 

という問題ならば (22)x+1=(23)x なので

22x+2=23xとなり底が2でめでたく揃いましたので、

2x+2=3xより x=2


ここは解けるようになってくるとパズルをやっているようで、はまってしまいます。


posted by あまがえる at 14:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする