2016年12月17日

三角関数のグラフを書くコツ

三角関数のグラフはなかなか描きにくいものです。しかし、最大値などを図示して確認できれば重宝します。複雑な式になるほど手順が大切。例を示しながら徐々に複雑な式に移りつつ説明します。





問題1.y=3sin2θのグラフを書こう。 


(解き方)y=3sin2θのグラフを書く手順で説明しましょう。


y=sinθのグラフを描きます。周期は2πで-1≦y≦1になることを注意。


つぎにy3sinθとするために、①のグラフのy軸の数値を-3≦y≦3と書き直します。


そしてy=3sin2θとするために、②のグラフのθ軸の数値を1/2倍にします。例えばπの位置をπ/2と書き直します。周期は2π/2πとなります。



つまりysinθのグラフさえ書ければ、どんなふうにも数値を書き換えるだけで表せることになります。この方法のほうが間違いにくいです。



問題2.y=3sin(2θπ/3)のグラフを書こう。


(解き方)


問題1の式に余分な部分がついたy=3sin(2θπ/3)のグラフはどうすればいいでしょうか。「う~んと、y=3sin2θのグラフをθ軸方向にπ/6だけ平衡移動したらいいよ。」そうですね。皆さんはπ/6 のところわかりますか。



説明します。③の状態でまず3sin(2θπ/3)3sin2(θπ/6)とします。π/6が出てきましたね。そして、y=3sin2θのグラフをθ軸方向にπ/6だけ平行移動させることになりますが、実際にはグラフはそのままでθ=ーπ/6の位置にy軸を移動させて書き直します。



問題3.y=3sin(2θπ/3)+1のグラフを書こう。



(解き方)「ああ、わかった。y軸方向にグラフを1だけ平行移動するといいよ。」そうですね。グラフをそのまま活かすなら、x軸をy=-1のところへ移動させてしまえばいいです。



それでも出だしでysinθのグラフさえ書ければよいことに変わりはありません。



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posted by あまがえる at 18:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2016年12月05日

センター数学 整数問題は要注意

整数は2015年度から教科書に取り入れられています。それまでも受験参考書などではコーナーを設けてページを整数問題の解説に充てているものもありました。難関大学の入試問題では当然のように整数が取り上げられていたからです。

そして今の高校生については、教科書で取り入れられています。しかし教科書では一通り典型の問題しか扱っていません。したがってセンター試験でこの分野がもっとも差がつきやすい単元になることは必定です。教科書プラスαの力が必要です。

そうでないとあの時間の限られたセンター数学で、整数の問題を合格点近くまでとることはなかなか容易ではありません。

センターレベルの他の単元については、過去問題を10年分ほどじっくり取り組んでいれば、その類似問題が毎年のように出題されていることは明白でした。

しかしこの整数の問題については過去のセンター試験において蓄積がそれほどありません。したがって過去の入試の2次試験で取り上げられた標準的な問題を拾い集めて取り組むことや、最新の整数の問題に関して取り上げた参考書(例:教科書だけでは足りない大学入試攻略整数 (河合塾シリーズ)
整数問題の解法研究―大学入試
)による学習が中心になるでしょう。

二次試験も含めて用心しておいた方がいい単元です。

ラベル:整数 整数問題
posted by あまがえる at 14:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2016年11月26日

数学 二次試験へのすじみち

数学では模試などでよく出がちな手順というのがあります。たとえば極値を求める際には式を微分して増減表を書きます。そのようなわかりきった手順に時間をとることは実にもったいないことです。


したがって標準レベルの問題でよいので、いかにこの「わかりきった」手順のところを正確に最短の時間で片付けるか練習します。


こういった部分に時間がかかってしまうようでは、本来はそこから先のところに出題者が問いたい問題の本質の部分に時間を割けません。


こういったところは、数学の単元の各所にあります。センター試験の学習をしてわかったと思いますが、そのことは数Ⅲでも同じです。むしろ数Ⅲのほうが「定法」の手順が多いようです。


総合問題になるとそうも行かなくなりますが、定法を知っておくとそこまでやってみてこれは時間がかかりそうだと迅速に見切りをつけることも可能です。


残り時間が少なくなってから引き返すのは最悪ですから、定法になる手順をいくつも持っていてしかも時間を掛けないでそこまで行けるというのはアドバンテージになります。

posted by あまがえる at 17:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2016年11月24日

対数は底と基数のルールを知る

台風が近づいていますね。週前半で影響がありそうです。日程はかなり変更を余儀なくされそうです。


対数がわからなくて困っている人いませんか。まずはルールを知ることから。読んでみてください。


ax=yの関係が成り立つとき、

x=logay (a>0a1でない、y>0のとき)・・・①

と表すことにするのが対数です。この詳細はここでは省略します。


ここでひとつ約束なのですが、

loga1=0,logaa=1

これはa0=1a1=0から明らかです。この先ほどから何度も登場するaのことを底(てい)といいます。


したがって①はaを底とする対数といえます。さらにylogayの基数といいます。この基数は①の条件にあるように常にy0です。


数Ⅱでは対数を含む方程式や不等式がセンター試験で登場することがよくあります。必ずひと手間かかる形をしています。よく眺めてそこを切り抜けられればあとは教科書の例題とさほど変わりありません。


例えば不等式log3(x+1)<3を解くときは

先ほどの基数が正である(y>0)ことを使って、

(x+1)>0


ゆえにx>-1・・・②

3=log333なので,もとの不等式は

log3(x+1)<log327


底の31より大きいので、不等号の向きは変わらず

x+1<27

x=26・・・③


②、③より

-1<x<26

となります。



このように真数が正であること、底が1より大きいか小さいかということで不等号の向きが変化することをよく理解(グラフ書いて理解しておいてください)しておくと対数不等式の解を求めることができるようになります。ここがポイントです。センター頻出です。


ラベル:基数 対数
posted by あまがえる at 17:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2016年11月01日

ベクトルの内積の理解

ベクトルが問題まで解けるようになるかどうか、そしてベクトルは便利だなと思えるようになるには「内積」を使えるようになることがカギをにぎっています。


平面図形においてベクトルを使いこなすことは、解く手段を増やす意味からも重要です。そのためにはまず内積。内積abはベクトルではなくてすでに実数です(注.上線は→の代わりです)。つまり内積を通じて2つのベクトルを変換して数値として扱えるようにするために必須の事項です。


内積についてはまず決まりごとを知るのが先決です。ベクトルの成分表示やベクトルの大きさはできるとしてここでは書いていきます。内積は(1)(2)のかたちで表すことができます。必要に応じて使い分けします。


これらの式は、無意識で使えるようになるまで、問題練習したほうがいいです。


ベクトルキャプチャ.JPG
少し見づらいこと、お許しください。








































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posted by あまがえる at 07:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする