2016年09月16日

センター 常用対数の基本

突然ですが、細菌ってどれぐらいの時間で増えると思いますか。「う~ん、納豆やヨーグルト、キムチがすっぱくなるのも菌の発酵だって言うから、翌日に1つふえるぐらいかな。」


答えはもっと多いです。条件によりますが1時間に23倍に増えます。じゃあ、1000倍に増えるまで何時間かかるでしょうか。「1時間で2倍なら2時間で43時間で8倍だから…う~ん、何十日もかかるんじゃないかな。」


それがもっと早いんです。常用対数(底が10の対数)を使って、log102=0.3010として計算してみましょう。1時間で2倍に増え、x時間で1000倍となると、


2x1000

常用対数にすると

log102x=log10103

xlog102=3log1010

xlog102=3(なぜならlog10101


したがって

x=3log102

x=30.3010

 ≒9.966(時間)


つまり約10時間で1000倍に増えることになります。食中毒に気をつけないといけない理由がわかります。それから常用対数がこういう計算に役立ち便利なこともわかりますね。


細菌が活躍する漫画といえば「もやしもん」。菌が見えたら潔癖症の人は大変かもしれません。理系の大学の研究室の様子の一面を見ることができるかもしれません。




ラベル:常用対数
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2016年09月14日

球に関係する表面積と体積

円柱や球の体積の求め方は知っていますね。今回はそれに関連する立体の体積について比較しながら説明しましょう。


いずれも高さが2r、底面が円でその半径がrである立体について話を進めます。


まずは中学のおさらいから。球の体積は4/3πr3…①でしたね。この球に接する円柱の体積は、πr2×2r2πr3 …②となります。ちなみに同じ円柱の表面積は、

πr2×22πr×2r6πr…③です。


そして上の円柱に内接する円すいの体積は②より、1/3× 2πr32/3πr3となります。


まとめると、円柱=2πr3  球=4/3πr3  円すい=2/3πr3

ですから円柱の体積=円すいの体積+球の体積となります。


それから球を細かく切っていくとスイカを切ったことのある人はわかると思いますが、三角すいがたくさんできますね。そのひとつの三角すいの体積を1/3srとすると

この三角錐の底面となる三角形の総和が円の表面積と等しくなります。


したがって 球の体積=1/3sr1/3sr+…+ 1/3sr

          =1/3r×(s+s+…+s

          =1/3r×球の表面積

 ②より  4/3πr3 1/3r×球の表面積

 ゆえに  球の表面積=4πr2 となります


球の表面積は、球に外接する円柱の側面積(③式の下線部)と等しく、球の直径を含む円の面積の4倍になるんですね。このことはアルキメデスが仮説を立てていったことです。


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2016年09月10日

極限の魔の手

数学で極限が出てきます。私は高校生のときに数学で考えてはいけない禁じ手を犯そうとして苦しんだことを思い出します。これはしてはいけないことです。


なにかというと極限のところで、不定形の極限が出てきます。0で割ること、∞ー∞などを回避する変形(たとえば分母の最高次数で各項を割る)などが出てきます。そこでふと思ってしまいました。


「こうして式を変形させて極限値が求められるなら、無限大で割ることができて、さらに0で割ってもよいのではないか」と考えてしまった(もちろん間違いですよ)のです。これは過ちでした。若気の至りとはこのこと?でしょうか。


分数で0で割ることは数学では禁じ手としてやってはいけないことになっています。それをやってしまっては千年二千年と積み重ねてきた数学の世界が崩壊してしまうからです。


これを考えはじめたら夜も眠れなくなってしまいました。夜遅くにふとアイデアが浮かんでノートにはわけのわからない数式があふれ、翌朝ぼ~とした頭で見直したら、どれもくだらないことばかりでした。


こういうことは高校の数学で何度かありました。特に数Ⅲです。微積分のあたりは、そういったなぞに満ちているように見えました(あとで考えると単に知識が足らないだけでしたが)。


こういった疑問に多少答えてくれたのは、大学の数学の先生方でした。上のこと(無限や虚数のこと)を考えて頭が本当におかしくなった数学者が数えきれないほどいると大学の先生のおひとりから伺いました。


あやうく(わたしは数学者でも何でもありませんでしたが)その魔の手にかかりかけたことだけは確かです。おかげでしばらく数学は地の底を這うような点数が続きました。

ラベル:極限
posted by あまがえる at 21:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする

2016年09月05日

高2の現時点の学習目安(数学編)

Aレベルの大学を目指す高2の皆さんはもう数学については教科書の章末レベル~センターレベル8割近くまでになっているでしょうか。Sレベルの方はすでにセンター全体で疑問点はほぼ残っておらず、時間内で解き終っている状態に達しているでしょうか。


ちょうどそれらのレベルを学習中でしたら特に心配いりませんが、まだ十分でないならばこの冬休みまでに教科書についてはもちろん完成させて、上に示したセンターレベルを目指しましょう。つまり春以降の模試については、マーク模試で苦労しないでいいようにしておくことが先決です。


特に難関大(S3前後)を目指す人向けに目安となる事項を示しましょう。


年内をめどに標準的なAレベルの大学の計算(微積分、数列まで)については終わらせるといいです。


それから年明け以降は、比重をセンターレベル以上、つまり二次試験のA~Sレベルのスキルの修得に比重を移します。これでちょうど入試1年前になります。


春休み~夏休みは二次試験レベルについて、A3~S2レベルを半年間にわたり少しずつ時間を割いて毎日続けて行く覚悟で、その時間の確保と習慣を今から身につけていけるようにしていくといいです。ここを徹底的に実行できるかがカギになります。


これには理系の場合には数学の場合には「大学への数学」のシリーズがお勧めです。まったく妥協がありません。したがってこれをこなすだけの力を目指します。


何もS3レベルばかりでなく、むしろAレベルを確実に満点を目指すことが大切です。つまりスピードと正確さです。


文系の方も全く同じです。数学はこの段階まででしたら理系・文系の問題に差はほとんどありません。文系でも難関大を目指すならば、このレベルの数学はこの時期にこのレベルまでは必要です(むしろ国・英に時間が必要になるからです)。


もうそんな時期なのと思うようでは難関大は難しくなってきます。今の時点で地方国立大に届くぐらいでちょうどです。それですと無理なく一年後に難関大を目指せるというように余裕をもった心持ちでいけます。


まだ準備できてないよという方、春休みまでの努力次第では難関大(S2,S3)にもまだ間に合うかもしれません。


つまり今からでも努力して春休みまでに地方国立大合格レベルに届けば、最終的には難関大レベルに到達させることもできるかもしれません。部活をしながらですからなかなか大変ではありますがあなたの努力次第です。


この文章、(英語編)と言葉が少しずつ違うだけと気づきましたか。他の教科も同様です。


基本的に今の段階で地方大学合格レベル程度であれば、余裕をもって難関大を目指せます。まだ春休みまでの努力次第で、合格する人はすっかり入れ替わる可能性があります。

大学への数学 2016年 09 月号 [雑誌]
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2016年05月12日

数学が本格的になってきます

1の皆さん数学はどうでか、そろそろ高校の数学は油断できないなあと思い始めているのではないでしょうか。

DSCN3502.JPG

特にこれからはじまる二次関数のあたりでは、「場合分け」など中学校ではほとんどしてきていませんから、自分で答える条件を仕分けしないといけないなんて、とはじめは思ったのではないでしょうか。


これこそ高校の数学の本質です。「条件によって答えが違う」。むしろ数学では当たり前のことです。今までの中学校の数学のほうがむしろ特殊だったともいえます。


今年の年の暮れのあたりから数Ⅱに入る学校もあるでしょう。するとまた違う考え方が必要な単元が出てきます。数学が多彩であることがよくわかります。


でもいずれも数Ⅲのための準備に過ぎません。ここでいよいよ微積分が本格的になってきます。これにしてもしばらく難渋しますが、大学で数学を必要とする人にはあの頃は易しかったなあと思えるほどです。


センター試験はこの数Ⅱや数Bまでですが、理系大学を目指す人は二次試験には数Ⅲが必要です。おそらく2年生の終わりにはその数Ⅲまで終わることでしょう。


ラベル:数学 高1数学 数Ⅰ
posted by あまがえる at 13:00| Comment(0) | 数学 | 更新情報をチェックする